量子过程层析学习笔记

John

最近要用到量子过程层析(Quantum Process Tomography, QPT)，找了一圈感觉内容过于理论，对缺乏相关背景的读者来说使用起来比较难受。因此在这里做个笔记，顺便补充一点基于我的理解的有关背景知识。
量子过程层析的目标是研究一个可能未知的量子过程，给定一个输入，这个过程会将输入变化为一个确定的输出结果。我们希望通过这些输入输出来确定这个过程。例如，对于未知矩阵 H=\left[ \begin{matrix}   a&b\\  c&d\\  \end{matrix} \right] ，输入 \left| \begin{matrix}   1\\  0\\  \end{matrix} \right> 得输出 \left| \begin{matrix}   a\\  c\\  \end{matrix} \right> ，再在输出态下测量力学量 Z=\left[ \begin{matrix}   1&0\\  0&-1\\  \end{matrix} \right] 即得测量结果 \left<Z\right>=\left| a \right|^{2}-\left| c \right|^{2} ，多选几组输入和力学量即可完全确定这个位置矩阵。
量子过程层析在这个基础上考虑了开放系统和混合态的情况。现在我们将我们的研究对象和环境看作一个整体，研究对象处于态 \left| S \right> ，而环境处于态 \left| E \right> ，这个整体的态函数为 \left| S \right>\otimes\left| E \right> ，一个量子过程应当作用在这个整体上，使得整体态函数演化为 \sum_{i}{\left| S_i \right>\otimes\left| E_i \right>} .然而，环境通常是我们无法测量的，为了描述这个过程，我们需要用到密度矩阵。关于密度矩阵的性质略去不谈。这个过程将输入态的密度矩阵 \rho=\left| S \right>\left< S \right| 变换为输出态的约化密度矩阵 \rho&#39;=\sum_{i}{\left| S_i \right>\left< S_i \right|} ，记作 \varepsilon\left( \rho \right)=\rho&#39; .这个过程通常不能简单地写成矩阵形式，一般来说， \varepsilon\left( \rho \right)=\sum_{i}{A_i\rho A_i^\dagger} ，其中每个 A_i 都是一个矩阵，而 i 的数量没有限制。
不过，基于线性的假设，要确定 \varepsilon\left( \rho \right) 所需要的参数数目是有上限的。假设 \rho 是一个 d 阶矩阵，最多包含 d^{2} 个独立参数，同时 \rho&#39;=\varepsilon\left( \rho \right) 也是一个最多包含 d^{2} 个独立参数的d 阶矩阵，则 \varepsilon\left( \rho \right) 可以看作一个 d^{2} 个独立参数到 d^{2} 个独立参数的线性映射，需要用 d^{4} 个参数来完全确定。
对于 n 比特量子系统来说， d=2^n ，可以为每个比特选定四个输入与四个输出，由此构成 16^n 个测量结果，从而完全决定这个过程。最后的测量结果记作
\lambda_{kl}=Tr\left( E_l\varepsilon\left( \rho_k \right) \right)
式中 \rho_k 是输入的密度矩阵，一般选取泡利矩阵的 \left\{ I,X,Y,Z \right\} 的张量积。在实际实验测量中，原始输入一般为每个比特都是纯态的密度矩阵 \left| 0 \right>\left< 0 \right|, \left| 1 \right>\left< 1 \right|, \left| + \right>\left< + \right|, \left| L \right>\left< L \right| 的张量积，其中 \left| + \right>=\left( \left| 0 \right>+\left| 1 \right> \right)/\sqrt{2}, \left| L \right>=\left( \left| 0 \right>+i\left| 1 \right> \right)/\sqrt{2}.随后用原始输入构造出泡利矩阵 I=\left| 0 \right>\left< 0 \right|+\left| 1 \right>\left< 1 \right|, X=-\left| 0 \right>\left< 0 \right|-\left| 1 \right>\left< 1 \right|+2\left| + \right>\left< + \right|,  Y=-\left| 0 \right>\left< 0 \right|-\left| 1 \right>\left< 1 \right|+2\left| L \right>\left< L \right|, Z=\left| 0 \right>\left< 0 \right|-\left| 1 \right>\left< 1 \right|.
式中 E_l 是对输出态进行测量的力学量，也选取泡利矩阵的 \left\{ I,X,Y,Z \right\} 的张量积。在密度矩阵的表示下求迹的结果便等于测量结果。
基于我们求得的 \lambda ，我们希望更进一步逼近 \varepsilon\left( \rho \right) 的表达式。现在让我们开始对量子过程层析的公式推导。
已知 \varepsilon\left( \rho \right)=\sum_{i}{A_i\rho A_i^\dagger} ，定义一组满足正交关系 Tr\left( E_i^\dagger E_j \right)=d\delta_{ij} 的完备力学量 \left\{ E_i \right\}，于是 A_i 可以用 E_i 展开 A_i=\sum_{m}{a_{im}E_m} ，以及比较重要的
\varepsilon\left( \rho \right)=\sum_{mn}{\chi_{mn}E_m\rho E_n^\dagger}
确定 E 并求出 \chi 后， \varepsilon\left( \rho \right) 也就完全确定了。
假设输入为 \rho_k ，将 \varepsilon\left( \rho_k \right) 和 E_m\rho_k E_n^\dagger 分别用密度矩阵的基矢进行展开，
\varepsilon\left( \rho_k \right)=\sum_{l}{\lambda_{kl}E_l},E_m\rho_k E_n^\dagger=\sum_{l}{B_{kl,mn}\rho_l}
令 E_l=\rho_l ，则有 \sum_{l}{\lambda_{kl}\rho_l}=\sum_{mnl}{\chi_{mn}B_{kl,mn}\rho_l}
也就是
\sum_{mn}{B_{kl,mn}\chi_{mn}}=\lambda_{kl}
\lambda_{kl}=Tr\left( E_l^\dagger\varepsilon\left( \rho_k \right) \right)=Tr\left( E_l\varepsilon\left( \rho_k \right) \right), B_{mn,kl}=Tr\left( E_m\rho_k E_n^\dagger\rho_l^\dagger \right)  ,
\lambda_{kl} 是前文给出的测量结果，可以看作一个纵坐标 kl 的列向量， B_{kl,mn} 由数学计算得到，可以看作纵坐标 kl ，横坐标 mn 的矩阵， \chi_{mn} 看作纵坐标 mn 的列向量即可算出结果。

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