下一次数学突破会在哪里？

检验之星

无理数的出现使人类可以精确研究静态世界的性质。
微积分的出现使人类可以研究动态世界的性质，流体，热、电磁，相对论等等
复数据说是量子力学的基础。
但好像200多年过去了，虽然有无数细分和小成就，但是类似上述这种颠覆性的突破好像没有了。
世界的巨变在等待下一次数学突破么？

如果真会有，会在什么地方呢？
原文地址：https://www.zhihu.com/question/21550185

检验医师

我眼中近五年最值得称道的数学paper至今都还没发表（当然也不知道是不是作者有意为之），仍然留在arxiv上。
https://arxiv.org/abs/1802.03426因为这篇文章告诉我，在今天的数据年代，纯数学也是能切切实实地发挥作用的。
这篇文章讲的是一种叫做UMAP的降维的方法。
虽然没有发表，但是到今天这篇文章已经有超过10000次引用了。而且更令人称奇的是，绝大多数的引用都不是来自数学家，而是来自生物学家、神经科学家。
我先来讲一讲这篇文章的问题，也就是nonlinear dimension reduction（非线性降维）。
大家的知道，在这个所谓的大数据时代，input的维度可以非常非常地大。我甚至从我老婆的project里见到过10^12维的数据。因此，无论从计算还是可解释性的角度，对数据降维是必不可少的一步。对此，我们大家最熟悉的方法应该是pca，核心是把高维的数据降到一个低维的subspace上。然而，很显然数据在一个subspace上是一个过强的假设。相比之下，我们更容易接受数据都是处于一个低维的流型上。 而非线性降维的核心问题就是找到这个低维的流型。
这一篇文章意识到了两个之前的算法的普遍问题， 即过于依赖hyperparameter以及降维时目标算法的选择。
对于这两个问题，作者意识到主要的bug是之前的方法不够robust。（接下来的讨论并不是很精准）。而增加robust的一种方式，是允许一定的模糊性，由此联系到了已经有了很久研究的fuzzy set theory（模糊集合论）。 他们将高维的数据以及低维度的目标空间都进行了一定的模糊处理，引入了一种叫做fuzzy simplicial complex 的数学工具，将问题转化为如何recover一个嵌入高维空间的低维fuzzy simplicial complex，由此大大解决了对于hyperparameter的依赖问题。而在引入模糊性之后，问题也就有了probabilty 的feel，他们又argue最自然的objective function就是去optimize cross entropy。
理论发展的很完备，但更可贵的是，最后implement的软件又快效果又好！
现在甚至成为很多方向default的dimension reduction和clustering的算法了，比如
https://alleninstitute.org/resource/what-is-a-umap/甚至在Twitter上还会有被经常吐槽不懂数学的生物学家试图学习这个算法的细节，哈哈。
为了develop好理论，作者用了很多听起来让人不寒而栗的数学工具：differential geometry，topology，category theory。对行内人或许没啥，但是足够让行外人吃一壶的了。
在大多数的情况下，读完introduction后这篇paper就会被贴上炫技的标签。
但是这篇paper的implementation会啪啪打你的脸：虽然从理论出发，但是老子的效果就是好。
而且作者们充分承认，就是理论，给了这个算法足够的稳定性和普适性，让其能够取得成功。
虽然没有充分阅读，但是只看到大致的idea，就让我这个游走在理论和应用之间的人如沐春风。
太久太久，我们都习惯告诉自己，我们做理论的，搞出来的东西就是没用，我们主要追求的是有趣。
但不是所有人都心甘于此吧。我相信仍然有很多人怀念那个数学家在各个领域大展身手的年代。
umap告诉你，在有着对现实问题充分的认识的基础上，你的理论工作仍然可以发光发热！
所以，少年，不要完全灰心。虽然难，但是把纯数学应用到其他领域，并不是死路一条。
毕竟有人已经穿过了荆棘给了你一个方向。

队长是我

今天，arxiv上http://Math.CO板块又有一个大新闻。做组合数学的朋友都本来觉得2个月前Sah的结果
顶级数学家有多厉害？会是2020年组合数学最重要的结果，但现在这个论点可能需要商榷了。今天介绍的问题是问：

一个不包含3长等差数列的子集合 ，它可以有多大？

关于这个问题的下界，1946年Behrend的高维球面构造法给出了 。
而关于上界，早在1953年Roth就证明了 ，后来在1970s由Szemeredi给出了非常漂亮的Combinatorial proof。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/29191714但是 的上界并不令人满意，人们会希望得到更好的量化上界，并且缩小上界和下界的gap。
在今天之前，最好的量化上界的结果为 ，这个结果由多组人分别证明过。其中包括一些数学家如Katz，Sanders等等，文章也主要发表在数学领域的四大期刊（JAMS,Annals）。可是始终没有人能突破 的壁垒。
<hr/>今天，Bloom和Sisask给出了新的突破，他们打破了 的界限，给出了新的上界：

<hr/>经过几代数学家几十年的努力，目前上下界的gap已经很小的，目前普遍认为关于这个问题的正确渐近阶应该长得更像Behrend构造的下界结果，即如下猜想：

希望有生之年能看到这个问题被解决，到时候我也做个局外人给大佬们鼓掌。

长长的路

一个能看得到的，正在发生的突破是，辛几何上的leading experts逐渐意识到，辛几何不是孤立的，至少有三个平行的世界：具体的几何，非交换几何，以及微局部分析。为了简单起见，假设这里考虑的辛流形都满足canonical bundle trivial。
具体的几何主要是Lagrangian Floer theory和Fukaya category，以及一些衍生的不变量。这里的不变量都是通过非线性微分方程的解来构造的，涉及到模空间上的一些相交理论。Seidel在这个方向引入了一些代数上的技巧，基本上是把关于derived category的理论推广到chain level，即 -category上，这使我们能在一些特殊情形计算这些不变量。但是总体来说，非常subtle，通过定义很难做具体的计算。
非交换几何主要指Ginzburg和Etingof等人的工作。Ginzburg考虑了Calabi-Yau流形的non-commutative analogue，定义了所谓的Calabi-Yau代数。许多Calabi-Yau代数都有很具体的模型，即可以通过quiver with potential定义。Calabi-Yau代数的first Hochschild cohomology类比于流形上的vector field，称为non-commutative vector field，而second Hochschild cohomology则给出non-commutative deformation。
微局部分析主要是Kashiwara和Schapira的工作。在研究微局部分析时，他们引入了sheaf的microlocal support。在cotangent bundle 上，这给出了一个real Lagrangian subvariety。进一步地，Nadler和Zaslow证明了 的Fukaya category quasi-isomorphic to dg category of -constructible sheaves on ，成为这个方向的开始。理解一般辛流形的Fukaya category就转化成一些perverse sheaf的gluing问题。
最近辛几何的发展很大程度上依赖于人们对于这三个平行世界的等价性的信仰。比如在非交换几何上存在的结果，就应该有相应的关于Fukaya category的statement。因为Calabi-Yau流形的Fukaya category应该quasi-isomorphic to Calabi-Yau algebra。但是通过具体的几何很难证明这些结果，于是人们就考虑用constructible sheaf来代替Lagrangian submanifold，从而找到Fukaya category的替代品：microlocal category（https://arxiv.org/pdf/1511.08961.pdf）。这样，对于具体的计算和操作就方便多了，于是人们得以在微局部分析领域利用以前Kashiwara-Schapira的重要结果，从而证明所需要的结论。最后，再回到具体的辛几何上，把结论翻译成具体的几何定理。
概括地说，非交换几何只涉及一些代数，而代数是数学里相对比较简单的部分，具体的几何是最困难的，而微局部分析可以视为两者之间的过渡。上述图景让我们可以从最简单的代数出发，通过一条可行的途径证明复杂的几何定理。
这方面还有不少文献，这里不再赘述。但是大多数辛几何学家还跟不上这个潮流。我个人认为，这个大的图景将辛几何、表示论和微局部分析联系在一起，其激动人心的程度绝不亚于Langlands纲领，只是在这方面做研究的人还太少。如果能让更多人相信，沿着这条路走是有希望的，取得惊人的突破是迟早的事。其实，现在已经有一些很重要的猜想是沿着这条路线证明的，比如Shende证明了conormal torus是complete knot invariant: https://arxiv.org/pdf/1604.03520.pdf。

卡卡

如果这个问题在 MathOverflow 问，答案很可能会是 Langlands 纲领。
如果说理论物理的终极目标之一是 Theory of everything，那么数学在近几十年来的对应物就是 Langlands program：对于 Galois 表示与自守表示的非常广泛，令人惊讶的联系。
著名的 Fermat 大定理的证明不过是这个宏伟图景的小小一角，而 Witten 等物理学家更希望将它的几何化版本转化为弦论中的对偶，宛如造出一个统一物理与数学的超级万有理论。
事实上，它竟然对于 1 维（abelian class field theory）和 2 维（Taniyama-Shimura）情形成立，已经令人感到很不可思议。粗浅地看来，模形式和椭圆曲线的定义颇有相似之处嘛，椭圆曲线与自己的 Jacobian 的等价很好，模曲线的许多性质都很好啊，Eichler-Shimira 不是也不难嘛。但这些完全不足以解决问题。T-S 目前的证明颇为暴力（关键的一步靠的是 3/5 trick。简单说就是不可能往 3 维再走），对于不可解群我们的大量方法一筹莫展。其实目前 2 维也没有完全解决，Serre 猜想是也解决了，但 Maass form 的情形就还有不少距离。
迹公式（Trace formula）是目前比较有希望的攻坚方法之一。吴宝珠对其中基本引理（Fundamental Lemma）的证明就理所当然地拿了菲尔兹，在往后的道路中至少还能再有 3 个菲尔兹给其中的主要参与者。
那么，为什么正常人类都不会有听说过它呢？因为单单是把 Langlands 纲领的陈述真正说清楚，已经需要太多太多的知识准备。。。比黎曼猜想 Poincare 猜想等等要解释多上十倍的篇幅，对于正常人类基本上是天书。
对了，我最近也在写一个数学教程：【 数学中的具体计算 】包括一些几何、表示论、数论内容，当然也有 Langlands 的更多细节（需要一定的数学基础）。欢迎阅读和提意见建议（有哪里看不明白，也可以在那边留言给我）。
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2018.8 更新：如果您对数学感兴趣，欢迎看我在知乎的更多回答，只输出干货：
PENG Bo：我在知乎的回答&文章整理：数学/物理篇最近还刚出版了一本人工智能深度学习的书，感兴趣的同学欢迎关注：
PENG Bo：我在知乎的回答&文章整理：AI/编程/金融/八卦篇PENG Bo：我在知乎的回答&文章整理：文/艺/音/生活篇

感恩由您

数学界从来不缺天才，数学界从来不缺重大的突破。事实上，现代社会从事科研的人数比以前多了不知多少倍，所以现代科学（包括数学）的发展和突破的速度超越了以往任何一个时代（即《三体》里大刘所说的“技术爆炸”）。
只不过，相对于无理数、复数、微积分这样受过正常理工科教育的人都能理解的简单知识而言，现代数学的突破是大多数人看不懂的了。我说的“看不懂”是真的看不懂——即数学圈外的人、甚至数学圈内不是一个方向的研究者，连这个“突破”的成果是啥意思都看不明白，更别提理解这个成果是怎么得到的了。
所以，圈外人会有一种“科学发展停滞了”的错觉，虽然他们每天用着的手机、电脑等由几十年前的“旧数学成果”奠基的工业产品在日新月异地更新换代。
“整数与小数之间的映射关系”、“离散和连续的关系”、“拓展数的概念”，都是很初等的东西，距离现代数学差得太远了。当然，我理解你为什么会提出这样的东西。如果你没有做过数学、物理等前沿学科的博士，你是完全无法想象现代前沿科学是什么样的。其抽象程度、推导的复杂程度、需要的知识储备是大大超出一般圈外人的想象的。
举一些20世纪以后数学重大突破的实例：
Gödel's incompleteness theorem（哥德尔不完全性定理）：由Kurt Gödel证明，它使得人们一直以来寻求“完美的数学公理系统”的希望破灭——你永远不可能找到一个完美的数学公理系统，使得所有的数学命题都可以被证明或证伪。一个著名的例子就是连续统假设（CH）——以前数学家们孜孜以求的连续统假设的答案，是它和现代数学所采用的ZFC公理系统独立，即ZFC+CH不会有矛盾，ZFC+ㄱCH也不会有矛盾。
Category theory（范畴论）：一个不同于集合论的、可以作为现代数学基础的理论基石。由Samuel Eilenberg和Saunders Mac Lane创立，另外F. William Lawvere、Alexander Grothendieck等数学家都为之做出了巨大贡献。大家知道集合论的基本概念是“元素”，而范畴论不再关心元素，而关心不同对象之间的联系，这更能抓住很多抽象数学机构的本质特征。例如，一个经典的例子是Gelfand representation，交换C*代数构成的范畴和紧Hausdorff空间构成的范畴是等价的。范畴论不仅是代数几何等前沿数学分支的理论基础，还为理论计算机和物理的发展提供了强大的范畴论工具。
Poincaré conjecture（庞加莱猜想）：1961年Steven Smale证明了五维以上的情形，1981年Michael Freedman证明了四维情形，2003年Grigori Perelman证明了三维情形，从而彻底解决。三人都因其对庞加莱猜想的贡献各自获得菲尔兹奖。关于它的意义我无法用初等语言来描述（事实上我自己也不是很明白——我不是做几何的），微分几何与现代物理的深刻联系需要许多预备知识才能理解。事实上，现代数学最难且最热门的分支就是几何（包括微分几何、代数几何等），它是与现代物理关系最紧密的数学分支，也是聚集了最多数学天才的分支，最近几十年里这方面的突破性进展数不胜数，只是我资质愚钝表示都看不懂~~