正态总体常用的七种假设检验统计量及拒绝域

空白派

上回说到，基于已知的常用分布，我们可知正态总体的几种区间估计公式，区间估计的过程，就是找枢轴量然后反解的过程
而估计的另一面就是检验，我们有时候知道过去的总体情况，但不知道某一次实验中得到的样本是否仍然符合过去的情况，这就用到了假设检验，早在高中时，我们就接触到了 3\sigma 原则，这正是假设检验的雏形，而当时的 \chi^{2} 独立性检验，正是假设检验的具体应用。
一、假设检验的基本要素

对于一次实验中获得的符合正态分布但参数未知的样本，我们不妨在认定某一个参数一定（不一定已知）时假设另一个参数的值符合一定要求，进而对这个要求进行检验，原假设就是符合要求，检验统计量就是分布和未知参数无关的统计量。备择假设就是原假设的否命题，我们认为概率很小的事不可能发生，拒绝域就是使得检验统计量概率很小的区域，当该统计量的值落在该区域时，我们接受备择假设，拒绝原假设。
例如，对于一次实验得到的总体方差已知的样本 X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})
我们做原假设 H_{0} ： \mu=\mu_{0}
检验统计量要与 \mu 无关，不妨考虑 Z=\frac{\overset{—}{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
于是备择假设 H_{1} ： \mu\ne\mu_{0}
我们希望原假设为真时尽可能不做出错误的判断（即不弃真），也就需要以尽可能小的犯错概率 \alpha （显著性水平）拒绝原假设，因此拒绝域为： \left| z \right|\geq z_{\frac{\alpha}{2}}
上面的例子就是一个双边检验，相应的，根据备择假设的范围，我们还有左边检验（其 H_{1} 为 \mu<\mu_{0} ），拒绝域也是左边( z<-z_{\alpha} )，右边检验同理。需要注意，不论是左边还是右边，取等都是在原假设中，备择假设不能出现等于号。
下面仅就双边检验展开讨论，单边可以此类推。
二、单个总体 X\sim N(\mu,\sigma^{2})

1.总体方差 \sigma^{2}_0 已知检验期望 \mu

就是上面的情况，不再赘述。
2.总体方差未知，检验期望 \mu

原假设仍然是
\mu=\mu_{0}
使用样本标准差 S 代替上面式子里的标准差，检验统计量变为：
T=\frac{\overset{—}{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}
相应拒绝域为
\left| t\right|\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)
3.总体期望未知，检验方差 \sigma^2

原假设为
\sigma=\sigma_{0}
检验统计量
\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_0^{2}}
拒绝域
C=\left\{\chi^{2}\geq\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \vee \chi^{2}\leq\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) \right\}
二、两个总体 X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2}_{1}),Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2}_{2})

1.总体方差已知，检验期望的差 \mu_{1}-\mu_{2}

原假设
\mu_{1}-\mu_{2}=\delta
检验统计量
Z=\frac{\overset{—}{X}-\overset{—}{Y}-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}
拒绝域
\left| z \right|\geq z_{\frac{\alpha}{2}}
2.总体方差未知但相等，检验 \mu_{1}-\mu_{2}

原假设
\mu_{1}-\mu_{2}=\delta
检验统计量
T=\frac{\overset{—}{X}-\overset{—}{Y}-\delta}{S_{w}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}
其中 S_{w}=\sqrt{\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}
拒绝域
\left| t\right|\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n_{1}+n_{2}-2)
3.总体期望未知，检验方差的比 \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} 是否为1

原假设
\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}=1
检验统计量
F=\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}
拒绝域
C=\left\{ F\geq F_{\frac{\alpha}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1) \vee F\leq F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1)\right\}
4.成对总体方差未知，检验是否有显著差异

虽然是两个总体，但两者成对出现，不能孤立起来，不妨记作
D=X-Y ，显然其容量为n
这就转化成了一个总体检验期望是否为0的情况了
H_{0} : \overset{—}{D}=0
检验统计量
T=\frac{\overset{—}{D}}{S_{D}/\sqrt{n}} （需注意其中 S_{D}=S_{1}+S_{2} ）
拒绝域
\left| t\right|\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)


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