大学数学系所学数学分析有多难？

大v

大学数学系所学数学分析有多难？
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同花顺

可以很难，也可以很简单。
回想起当初选数学系的原因有点傻，因为高中数学感觉比较简单，上数学课大部分用来背英语单词，高考数学满分，当时以为大学选了数学系，大学里就可以轻松混毕业，说不定还能成为数学家…
结果，大一第一次期中考就被打脸，数学分析100分卷子只考了40多分，第一次数学不及格，当然原因也是有不少，比如150多人的大教室每次都是抢到最后几排的位置，上课完全听不清楚，很多时候上课就是睡觉流口水等等；高中到大学的转换没做好，高中的时候，有老师盯着，所有同学都是一起上课一起晚自习，学习节奏比较有规律，而大学里全靠自学，不去上课不完成作业也没人管，结果拖延等各种坏习惯都野蛮成长了。顿时感觉自己就是个学渣，挂科在即，人生一片灰茫茫。
所幸，虽然过去数学一直很好，但是英语和语文一直以来是学渣，要不也不至于高中数学课大部分用来背单词，脸皮厚，积累了比较充足的应对学习挫折的经验。
期中考结束的那个周末，我认真地对之前的数学学习进行了反思，发现原因主要去下：一是概念定义理解不透，不能用自己的话讲明白；二是基本没有认真做过题，练习比较少；三是老师讲的太菜，或者说的委婉点，老师的讲课风格并不适合我。
问题找到后，就开始一点点自己去补了。对概念定义理解这一块，我除了教材（国内数学系的教材语言风格不太适合自学）以外，找了rudin的数学分析和俄罗斯的一本微积分（实质上是数学分析）对照看，把自己对一些关键概念的理解写下来，同时和班里同学讨论；做题这一块，开始买了吉米多维奇那套，但是不喜欢做就放弃了，转而自己学会证明教材里面的定理，偶尔做下教材后面的习题；老师这一块，这个学期已经不能换老师了，网上学了一门mit开放课程上的数学课（说实话，效果一般，现在貌似选择更多，B站上也有一些课程，但是讲的比较好的以微积分课程为主，毕竟数学分析太小众，另外能把数学分析讲好的也不多），更主要是，放弃听原来的数学课，去旁听了浙大丘成桐班的数学分析课程（现在丘成桐和清华合作了），感觉比较适合我，发现数学分析实际上也并不难……再后来，就偷偷把数学系数分2、高代2、实分析、泛函等专业课尽量都换成了丘成桐班的数学课。
虽然学习数学四年之后，逐渐明白在数学研究方面，我个人不是做数学研究那块料，很难做出好的成果。但是学习数学和数学研究完全是两码事，学习数学面对的已知成型的东西，并不需要智商天赋，只要方法得当并不太难，我专业课基本95至100之间。数学研究就完全不一样了，很少有人能有陶哲轩那样的天赋，也很少有人有张益唐那样的毅力。
所以，我个人觉得大学数学系的课程学习并不很难，只是需要找到适合自己的方法。

感恩由您

如今我的本科课程已经基本完成，可以给出常规情况下、在我看来的纯数学（包括概率论，不包括统计、计算、优化这些）课程的难度等级了。
我给每个课程指出星级，用五星表示最难。
数学分析（一）：二星。难度并不是在具体的理论上，而是这门课要求你突破过去对数学的印象，理解什么是数学的问题。基本上不抽象，也没什么计算量，看起来魔法的操作也不是没有头绪。
数学分析（二）：二星。具体的理论比数学分析（一）难，主要是因为有Riemann可积性和一致收敛性，这两部分差不多是整个数学分析里最抽象的。如果你在数学分析（一）已经学习了不定积分，那么在这里应该不会碰到过多困难的计算题。
数学分析（三）：三星。这个要看情况了。国内主流的教材并没有把多元微积分讲得那么清楚，实际上它是需要涉及很多线性代数的。在较大的计算量中抓住重点，同时又需要把线性代数学明白，应该比前两个更难。至于讲不清楚的情况，我并不觉得这会让它变容易，反而降低人的智商。
（高等数学：上下都是二星。这根本就不是数学课，而是做题课，这些题不算难也不算简单，除了公式也需要有点技巧）
高等代数（一）：二星。高等代数是比数学分析更抽象的课，因为它所研究的多维线性空间不再是过去建立过直观意义的对象。不过好在这门课的习题大多比较平凡。
高等代数（二）：三星。通常这门课会接触到一般域上的线性空间和线性映射概念，以及带有度量的线性空间，抽象程度要大很多，夹杂的计算也变多了。
解析几何：一星。通常的解析几何课只涉及到一些特殊的曲面和二次曲面，相对于高中的解析几何和立体几何并没有增加太多难度。公式比较多但是可以现推，只要读过一遍教材就不难理解。
常微分方程：二星。初等解法、高阶方程和方程组的解法都是初等的，只是计算量比较大。这门课的难度取决于会涉及到多少性质理论，以及这些部分的考试难度。
抽象代数：四星。有很多概念都很难建立起直观印象，比如正规子群和Sylow子群，如果了解过建立这些概念的动机会好一些。这门课比较吃天赋，有些想法我理解不了。
复变函数：三星。看似和数学分析差不多，然而复数集终究是比实数集更抽象，同时在这门课中也有比数学分析更复杂的技巧，过去的技巧如今只是显而易见。
概率论：一星。如果在这门课只出现随机事件、随机变量和多维随机变量，那么这门课始终是初等的。关键就在于讲多少大数定律，以及这一部分的考试题有多难。
偏微分方程：五星。这应该是我上过的最难的课，不论是在想法上还是在施行上都很难，也就是说又抽象又有很大的计算量。我从来没有在这门课上独自做出过习题。如果这门课是在泛函分析后面开的，就会进一步可怕得多。
实变函数：四星。理论实际上不是特别抽象，毕竟研究的是实数集上的事情，只要你把数学分析中的一致收敛性之类的东西学明白就不会太担心看不懂。但是习题实在是太魔法了。
泛函分析：四星。泛函分析通常是本科数学里最接近现代的课程。这门课在真正意义上要求你理解线性代数的内涵，即不应该把目光放在有限维空间上。你要先认为共鸣定理是显然的，然后觉得不可思议，最终又觉得很合理，才算是学会它。
微分几何：三星。本科的微分几何一般是古典的，即研究三维欧式空间上的曲线和曲面。学好数学分析和高等代数，有不错的计算能力和空间想象能力，会很有帮助。如果是讲现代微分几何，或者叫微分流形，五星也不够用。
拓扑学：四星。理论上是本科最抽象的课，但是直观的例子相对没那么难找，就让它不那么变态了。如果有的老师非要讲一些代数拓扑，自求多福吧。
初等数论：五星。我实在是接受不了这种一个问题创造一个技巧的操作，可能我智商不够吧。

长长的路

首先先说明一下概念，如果此处的“高等数学”是指国内工科常用的那本同济《高等数学》，那对不起，数学系是不学这个的，同济那本书的内容偏重计算，大部分内容都只是数学系大一的数学分析，常微分方程，解析几何的很浅的一部分而已
如果这里的“高等数学”是指数学系本科，甚至研究生的课程，其实这些内容也大部分已经发展的很成熟了，最起码它已经有了一系列的教材来讲述，现代的一些数学分支可能都没有教科书，只能通过学习一些论文去学习，这些东西我就不懂了。
就数学系的本科课程来说，数学分析，线性代数都是基础，进阶大二会学一部分抽象代数，实分析，这时候抽象程度会大大提高，让很多习惯了数学分析，线性代数里的概念都有比较具体例子的人感到不习惯，对抽象的σ-algebra,群，环，理想这些东西不习惯，那他会觉得这个东西难
这些课程其实找一些例子丰富，厚一点的书看一遍，基本上都能掌握的差不多，毕竟都已经发展了100多年了，相关的教材这么多，总会有一款适合你，不应该觉得难。
真正刚刚让大部分人觉得难得，还是觉得概念太抽象，证明太长，太繁琐，学完不知道有什么用，比如最开始学了一大堆抽象测度空间的实分析，面对一个具体的积分还是不会算。
就我个人学习过程中觉得很难的课程，比如抽象代数拓扑，这个我学起来因为代数功底不过关，脑子里抵触没有几何图像对应的理论，面对一大片交换图，证明看的痛苦，也不知道有什么用，算一个具体的图形的同调群和上同调群还是不会。
还有交换代数，抽象代数几何，概形那一套，学了这一堆抽象的东西，不知道有什么用，这时候就会非常抵触，觉得难。但这些困难都是可以克服的，多找几本书看看，从具体例子去理解这些概念，定理，去找一些理论的应用就行了。
最后做一个结论，已经发展了4，50年，已经相对成熟的课程，已经有了一系列的教材的课程，都可以学会，只是花的时间要多一些，要看的书，查的资料要多一些而已。最起码，它还有这么多教材可以选择。
比如你看hartshorne(gtm 52)觉得很抽象，很难，你的代数不是很好，或者你有图像强迫症，你可以找几本平面代数曲线看看，积累例子，或者换成vakil的《The rising sea》，只是这本书很厚，印象中好像有800多页，就看你也没有毅力去啃了！
PS:gtm52,vakil笔者都还没有读过，但以后一定会去读的，虽然可能会掉很多头发(笑)

感恩由您

哈？什么高数？
高数在哪？没有高数？是那个高等代数吗？(大一刚入学拿到课表的时候我的第一句话是这个)
我们不学高数。对应的我们学的是数学分析。另外线代也没有，只有高等代数。
难度嘛，这么做一个对比，当全世界都在吐槽高数难的时候，我们在黑人问号额，就这？大概这样子，感觉数分比高数难太多了啊。
大三大四学完回过头来看，数分高数都不觉得难了，主要因为我们适应了这种思维模式了，就还好。我们把这种转变，叫做“开光”。
这就是曾经沧海难为水，除却巫山不是云？
难，这么多届都难过来了，你也不会例外，所有逃过的终究也要还债的，加油吧各位~

长长的路

不好意思，数学系并不会开设“高等数学”这门课。取而代之的是各种各样的数学课，包括分析，代数，几何，拓扑，方程等学科。
数学系的第一年的重要课程就包括数学分析，而一上手很可能就是实数系的几个重要定理，以及它们之间的等价性推导。
如果觉得 Rudin 的数学分析难度不太够的话，可以选择卓里奇的数学分析，就是俄国的教材，并且尝试做一下后面的练习题。
如果觉得习题过于难做，可以换本书，传说中的吉米多维奇。总共六本，可以先买第一本来试着做一下题目。
除此之外，也可以看看中文版的数学分析习题集。
相比其他院系的高等数学，通过学习数学分析课程，学生们可以提升高数的计算能力，也会提升对数学的基本理解和证明能力。如果有兴趣的话，可以看一两本数学分析的教材，跟高等数学还是有所不同的。