什么是月地检验？

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什么是月地检验？
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清风寡欲

月地检验是牛顿在推出了“平方反比”的规律之后，他继续进行思考——“维持月球绕地球运动的力和地球对苹果的引力是不是同一种力？”
那么根据运动学规律可以得到，月球绕地球公转的向心加速度（1）


其中T是月球绕地球公转的周期，在当时已经得到测量，大约为27.3天
R是月球绕地球公转的轨道半径，在当时也已经知道了，大约是地球半径的60倍
那么向心加速度（1）就可以求出
以上我们求得的方法，是按照开普勒的行星运动规律，将月球绕地球运转的轨道近似地看成圆，可以直接根据当时的现有数据来运算出的数据
那么按照牛顿的猜想“维持月球绕地球运动的力和地球对苹果的引力是同一种力”，则月球绕地球公转的向心力应该由“万有引力”提供，那么他假定这个猜想是正确的，应该就有


其中，G是万有引力常量，在当时不知道是多少，M是地球质量，也是不知道的数据，m是月球质量，R是地月距离
即可以推出（2）



也就是说，如果按照这个公式进行计算，出来的数据与之前我们说过的(1)中的向心加速度相比，两者如果相同，那么就说明这个猜想是靠谱的（注意，不能直接证明这是正确的，只是间接说明它靠谱、很可能是正确的）。可是我们发现G、M我们都是不知道的，这该怎么办呢？
我们上文提到了，牛顿猜想这种力和使苹果下落的力应该是同一种力，那么对于苹果就有（3）


其中，m1是苹果的质量，g是重力加速度，可近似取9.8米每二次方秒，r是地球半径，即苹果到地心的距离，我们将这个式子化简并变形可以得到（4）


我们将这个式子（4）带回到（2）中
就有（5）


那么根据（5）算出的向心加速度与（1）算出的向心加速度相比，竟然是十分相近的，因此这个检验的结果可以说是间接的证明了“维持月球绕地球运动的力和地球对苹果的引力是同一种力”这一猜想的合理性，也就是牛顿将地球和苹果之间的引力关系扩展到了整个宇宙中，形成了“万有引力”这样的概念。