技能急速的数学解析——深度剖析新概念

balabala

本文是通过数学计算带领大家一步步深入了解技能急速。
有极限探索兴趣的玩家，可以根据本文思路一步一步了解。
或直接提取结论，相关结论会重点标注。
在冷却缩减替换为技能急速后，游戏规则会发生哪些变化？
有没有英雄因此产生质变？
有没有可能诞生无限火力式玩法？（这个问题可以先告诉大家有，文末介绍给大家）
<hr/>第一层理解：技能急速是什么？

与冷却缩减类似，技能急速的作减换了个算法，然后给了个全新的名字——技能急速。
技能急速与技能CD都是用于降低技能CD。
技能急速的冷却缩减算法为：
冷却缩减=\frac{100}{100+技能急速} \\
也即，如果你有一个基础冷却时间为10的技能，当你：
法术急速为100时冷却时间为5秒（10秒的二分之一）
法术急速为200时冷却时间为3.33秒（10秒的三分之一）
法术急速为300时冷却时间为2.5秒（10秒的四分之一）
…………
法术急速为900时冷却时间为1秒（10秒的十分之一）
当法术急速趋于无穷大时技能冷却时间趋于0

而设计师衡量一个属性是否是线性，一般都是建立在时间域。所以对于技能释放，我们应该去关注单位时间(原技能CD)内能够施放的技能个数，也即技能施放频率。
经计算，有：
技能施放效率=1+\frac{技能急速}{100} \\
同理，也就是说如果你有一个基础冷却时间为10的技能，当你：
法术急速为100时10秒内可以放2个
法术急速为200时10秒内可以放3个
法术急速为300时10秒内可以放4个
…………
法术急速为900时10秒内可以放10个
当法术急速趋于无穷大时施法次数趋于无穷大

结论一：技能急速提升技能施放频率是线性的。

第二层理解：技能急速对输出的提升效率

本层理解开始涉及数据运算，细读需要一定数学基础，不喜可跳过计算过程提取结论。
对于那些需要，甚至只能靠技能打输出的英雄，增加技能施放频率就是增加他们单位时间内的输出。
我们设原本一套技能平均每秒输出为 x ，忽略技能冷却外引导和前摇，它满足
x=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\sum_{j=1}^{m}{(k_{ij}·CS_{j}+C_{i})}}{t_i}}\\
其中 CS_j 为英雄的面板数值(攻击力、法术强度、护甲等)， k_{ij} 为第 i 个技能的第 j 个属性的增益(如1.5AP中的1.5)， C_i  为第 i 个技能的基础伤害， t_i 为第 i 个技能的冷却时间。
而如果此时你的装备提供了 AH 点技能急速，那么你的每个技能(假设都受到技能急速影响)的冷却时间将会缩减到之前的1/(1+技能急速/100)，于是你现在的平均每秒输出 y 满足
y=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\sum_{j=1}^{m}{(k_{ij}·CS_{j}+C_{i})}}{t_i·\frac{1}{1+\frac{AH}{100}}}}=\left(1+\frac{AH}{100}\right)·\sum_{i=1}^{n}{\frac{\sum_{j=1}^{m}{(k_{ij}·CS_{j}+C_{i})}}{t_i}} \\ =\left(1+\frac{AH}{100}\right)·x\\
输出x的系数是1+AH/100,容易得出

结论二：每一点法术急速可以提升1% 来自技能的 DPS。

第三层理解：技能急速与法术强度的均衡

本层理解以法术强度做一个参考计算，攻击力和普攻伤害有关，对计算模型影响较大。
首先我们假定理想情况——技能仅受到法术强度加成、忽略技能冷却外引导和前摇、技能急速和法术强度取值连续，单位数值需要的金币一致，借用（二）的结论，并将原始输出的时间归一化，有：
DPS&#39;=\left( 1+\frac{AH}{100} \right)·(k·AP+C)\\
受到经济的制约，应有
m_1·AH+m_2·AP\leq M\\
其中DPS’为单位时间内输出，AH为技能急速，k为技能法强加成，AP为法术强度，C为基础伤害， m_1 为单位技能急速的价格， m_2 为单位法术强度的价格，M为总收入。最大化输出必然会将总金钱花费殆尽，因此计算时按照金钱全部使用进行计算。
消元可得
AP=\frac{M-m_1·AH}{m_2}\\
DPS&#39;=\left( 1+\frac{AH}{100} \right)·\left(k·\frac{M-m_1·AH}{m_2}+C \right)
=-\frac{km_1}{100m_2}AH^2+\left(\frac{kM}{100m_2}+\frac{C}{100}-\frac{km_1}{m_2} \right)AH+\frac{kM}{m_2}+C
这是一个二次函数，显然当AH满足下式时有最大值
AH=\frac{kM+Cm_2-100km_1}{2km_1}\\
此时技能急速与法术强度的比值：
\frac{AH}{AP}=\frac{m_2}{m_1}\left(\frac{2kM}{kM-Cm_2+100km_1}-1 \right)\\
取基础伤害和法强加成的比值为α，即
\alpha=\frac{C}{k}\\
有
\frac{AH}{AP}=\frac{m_2}{m_1}\left(\frac{2M}{M-\alpha m_2+100m_1}-1 \right)\\
很显然在金币条件一致的情况下，最大伤害时技能急速比法术强度的值与法强加成比技能基础伤害的值唯一确定，只要基础伤害比法强加成不变，那么伤害最大化时的技能急速与法术强度也就确定了。

结论三：在对技能急速和法强均有需求的前提下，固定经济最大化输出所要求的技能急速与法术强度之比仅与技能基础伤害和法强加成有关。

取单位技能急速、法术强度的价格为26.67，21.75（这是最低合成装备的单位数值价格）：
\frac{AH}{AP}=0.816\left(\frac{2M}{M-21.75\alpha+2667}-1 \right)\\
在上述计算中，我们默认求得的AH>0，如果不满足则应该将全额经济投入在法术强度上。此时应有：
M≤2667-21.75\alpha\\
上式在α>122.61时M需要小于0，因此如果技能基础伤害比法强加成大于122.61开局就可以通过购买技能急速来提高DPS’。
同理，什么时候不应该购买法强呢？在保证AH>0的同时让AP<0即可。经计算，有
M≤21.75\alpha-2667\\
上式在α<122.61时M需要小于0，因此如果技能基础伤害比法强加成小于122.61开局就可以通过购买法术强度来提高DPS’。而这是一般的输出型法师所满足的。
当你经济超越这个限制的时候，就需要均衡法强和技能急速，技能急速与法强的比值α满足
\frac{AH}{AP}=0.816\left(\frac{2M}{M-21.75\alpha+2667}-1 \right)\\
时即可获得最大输出。

第四层理解：有限经济下的技能急速与法术强度均衡

接上层理解。
一般法师英雄由于低等级时的基础伤害与法强加成关系，在金币不到3000或6级前最好不要特地购买技能急速，因为这个时间段法强收益最高。
前中期搭配技能急速和法术强度出装会因为相乘的关系获得最大输出。
而中后期由于技能急速提供的减CD使得技能CD完成较快，而并不是每次技能就绪都可以立即施放，因此需要更注重法强。
法术穿透、施法命中率影响最大秒均输出，但不影响最大输出时的技能急速-法术强度比值。
这是前中期和中后期推荐的技能急速、法强比
\frac{AH}{AP}=0.35\left(\frac{2M}{M-16\alpha+3000}-1 \right)+0.1\\
\frac{AH}{AP}=0.18\left(\frac{2M}{M-15\alpha+3200}-1 \right)+0.01\\
其中AH为技能急速，AP为法术强度，M为总经济，α为技能基础伤害与法强加成的比值。
这里公式的来源以及表中β 的意义将在后面的烧脑推到中介绍。
这是最优表（暂时就叫最优表）

结论四：一个大件前、等级不够时全出法强，技能急速到60后推荐出法强，中间自行搭配。刺客建议除必要的技能急速外优先出法强，当能够对对面C位造成致命威胁后再出技能急速。

引用理论得到的简单英雄出装推荐
例如我们以远古巫灵泽拉斯为例(非电刀无尽流的泽拉斯)
1级Q技能基础伤害为80，法强加成为0.75，于是α=106.67<122.61。因此应当购买法术强度来提升输出（当然，500也买不到技能急速）。
9级时Q、W、E、R为5、2、1、1级，不计入出门的500块，可支配收入取2700。总经济为3200。常规对战中不会频繁地使用R技能，因此仅考虑QW(中心命中)E三个技能。这三个技能的总基础伤害为470.03，法术强度加成为2.2，二者之比为223.82。那么为达到输出的最大值就应该满足技能急速与法术强度之比为0.6053。这意味着此时可以近似地5:3购买技能急速和法术强度。
16级时除了E技能为3级，其他技能全为满级，总经济取12000。这时除了R以外所有技能的总基础伤害(认为W外圈命中)为680.06，法术强度加成为2.2，二者之比为276.39。为达到每秒平均输出的最大值，技能急速与法术强度之比应为0.2208。
结合上述论证过程，可以发现泽拉斯在中期对冷却缩减的要求并不低，而在后期则应该更注重法术强度（大多数法师都是这样，这里的0.2208相当于453法强100技能急速，算是一个较高的值了），因此他可以选择神话装备“卢登的激荡”或“兰德里的苦楚”，配合神话被动获得法术穿透或技能急速。
你看，泽拉斯不出电刀火炮也很快乐，他改出冰杖了！



附加分析

以上分析是最为理想的情况，实际上我们的伤害受到法术穿透、技能命中率、技能施放间隔、技能前摇等的影响。
法术穿透会忽视对方的部分魔法抗性进而提高伤害，而每一次输出只要命中都会计算对应的法术穿透，因此法术穿透不会影响最大秒均输出时的技能急速-法术强度比值。
技能命中率决定的技能命中的比率，技能的命中状态也只有“命中”和“未命中”两种。前者造成0伤害，后者造成全额伤害。因此考虑进命中率的伤害数学期望并不影响最大秒均输出时的技能急速-法术强度比值。（注：这里没有考虑内外圈伤害不同问题。如果内外圈基础伤害-法强加成比不一致则会导致技能急速-法术强度比发生偏差，一致则没有影响）
唯一能够影响这个比值的是技能前摇和施放间隔。
并非技能冷却完毕后就可以立即施放，一般情况下我们会等待一个机会，找准角度，给出一个沉重的打击。同时技能的前摇会导致技能两次可用的时间间隔略比技能CD要长，只不过这个时间和等待机会的时间相比而言太小了。
如果等待时间与技能CD成正比，那么它将同样受到技能急速增益，进而不影响最大秒均输出时的技能急速-法术强度比值。不过事实上敌方单位并不会因为你出了技能急速而提升自己走位失误的频率。因此我们可将这个值视为定值T，于是有
DPS&#39;=\frac{t+T}{\frac{t}{1+AH\%}+T}\left(k·\frac{M-m_1AH}{m_2}+C \right)\\
=\frac{1+AH\%}{1+AH\%\frac{T}{t+T}}\left(k·\frac{M-m_1AH}{m_2}+C \right)\\
=\frac{1+AH\%}{1+AH\%\frac{1}{\beta+1}}\left(k·\frac{M-m_1AH}{m_2}+C \right)\\
其中β 为技能冷却时间t 和值T 的比值，称为技能施放效率。
考虑到这些情况后会发现技能急速的重要性快速地下滑了下去，结合大多数AP英雄对线期的技能基础伤害和法术强度加成，可以认为大部分法师英雄在6级之前不要刻意购买技能急速，而是应将经济投入在法术强度上。
DPS&#39; 对AH 求导有
\frac{\partial DPS&#39;}{\partial AH}=\frac{0.01\beta}{(\beta +1)\left( 1+\frac{AH}{\beta+1} \right)^2}\left( \frac{k(M-100m_1AH)}{m_2}+C \right)-\frac{1+AH}{1+\frac{AH}{1+\beta}}\frac{km_1}{m_2}
导数为0时有极(最)值，经验证，为正区间内的最大值
AH=-\frac{10(10(1+\beta)km_1-\sqrt{\beta km_1(Cm_2+kM+100(1+\beta)km_1)})}{km_1}\\
AP=-\frac{M+\frac{10}{k}(10(1+\beta)km_1-\sqrt{\beta km_1(Cm_2+kM+100(1+\beta)km_1)})}{m_2}\\
\frac{AH}{AP}=-\frac{10m_2(10(1+\beta)m_1-\sqrt{\beta m_1(\alpha m_2+M+100(1+\beta)m_1)}}{m_1(M+10(10(1+\beta)m_1-\sqrt{\beta m_1(\alpha m_2+M+100(1+\beta)m_1)})}\\
带入 m_1=80/3 ， m_2=21.75 有
\frac{AH}{AP}=-\frac{100(1+\beta)-\sqrt{\frac{15}{4}\beta \left(M+\frac{87\alpha}{4}+\frac{8000(1+\beta)}{3} \right)}}{\frac{4M}{87}+\frac{32000(1+\beta)}{261}-\frac{40\sqrt{\frac{80}{3}\beta\left( M+\frac{87\alpha}{4}+\frac{8000(1+\beta)}{3}\right)}}{87}}\\
在前期，技能冷却时间较长，也即空窗期时间相较于技能冷却较小，比值β较大，取3。为简化计算，带入各自值后上式近似修正为
\frac{AH}{AP}=0.35\left(\frac{2M}{M-16\alpha+3000}-1\right)+0.1\\
拟合与真实的比较。左侧为拟合，右侧为真实


在中后期时总经济较多，需要搭配技能急速和法术强度。
由于技能急速的存在，技能冷却时间得到了一定的减少，进而导致技能施放的空窗期相比之前要大，技能施放效率β减小，上述公式需要进行进一步修正。
取β为1，有近似公式
\frac{AH}{AP}=0.18\left(\frac{2M}{M-15\alpha+3200}-1 \right)+0.01\\


下面时示例的最优表




以上理论部分供有兴趣进行极限探索的玩家参考。
<hr/>接下来回归文首的问题：
怎么样获得无限火力的快乐？

在开始之前安利一下神钩四杰四件套，各位看看就好：


首先看一看锤石Q技能的介绍：


锤石在满级无急速/冷缩时的Q技能冷却时间是12秒。它还有一个特性，就是在命中单位后会减少3秒的冷却时间。是不是如果我们能通过没有上限的技能急速将锤石的技能CD降低至3秒，那他只要Q中单位就可以无CD放Q了？
确实，只要把CD降低至这个水平就可完成无CD放Q。简单一算大概需要300技能急速。不过锤石的Q技能还有一个特性——它在按下、前摇尚未做完时就开始计算CD。作为比较，我放出了他的E和R的施法瞬间CD状态。






锤石的技能前摇为0.5秒，被钩住的人如果没有韧性会被晕眩1.5秒（你不需要在他晕眩期间再给他来一下，因为白耗蓝没必要），这样你只需要把CD降到5秒就能完成这伟大的事业了！
通过计算，将CD降低至5秒需要140技能急速。
是的，你没有听错，只要140技能急速，相比之前的300技能急速连它一半都没到！
按照我们前面说的神钩四杰四件套再补上明朗之靴和石像鬼石板甲可以达到130技能急速。巫术系符文“超然”在8级时提供10技能急速，正好140技能急速。这样能限制你的就只有蓝量、技能前摇和弹道速度了。
不得不说设计师真的是人才，满满当当正好让这个典狱长有了无限留住罪犯的能力，而且还都是贴合他的装备。
只不过想要出出来这些装备需要不少经济，这应该才是难道所有辅助的问题吧（派老板除外）！


示例视频：
锤石无CD Q的演示

到这里有玩家可能已经反应过来了，获得无限火力般快乐有两个条件：
1. 出装包含高额的技能急速。
2. 技能自带减少固定冷却时间效果。
出装所有英雄都能找到适合自己的高冷却路线。
而自带固定冷却时间缩减的英雄并不多。
卡尔玛、赛娜、人马、剑圣、赵信、蛮王、EZ、等等。
时光老头有固定冷却缩减，但是机制特殊，无法快乐。
其中剑圣、赵信，相应的套路攻略已经在11月11日中午和晚上发布了，欢迎关注。
更多的内容在下方相关推荐里，或者搜索关键词【瓦文联季前赛】阅读~



原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/288183998