如何理解「不公正的选区划分（Gerrymandering）」这一概念？

营养师

如何理解「不公正的选区划分（Gerrymandering）」这一概念？
原文地址：https://www.zhihu.com/question/28596420

卡卡

第一局：上等马对中等马
第二局：中等马对下等马
第三局：下等马对上等马


如果是这张图，红：黑是6：9，比例制一定是黑胜。
但是如果划分选区就不一样，
第一张图，黑三个选区全部拿到。
第二张图，黑拿到两个选区。
第三张图，红拿到两个选区，黑只拿到一个。
如果吃相比较难看的时候就会划特别奇奇怪怪形状的选区。
集中型选区划分，就是把对手的支持者集中在一个或者较少的选取。
分散型选区划分，就是把对手的支持者分散。

队长是我

Gerrymandering直译为"格里蝾螈"，指的是怪异地划分选区可以扭转选票统计结果，可以类比为几何版本的辛普森悖论，统计上的辛普森悖论是指一种趋势出现在组内数据中，在总体数据中却不明显甚至相反。
比如下面这个大学录取的例子，统计调查怀疑它有性别歧视，在统计学院和法学院中都是女生的录取比例更高。（改编自加利福尼亚大学伯克利分校70年代的真实案例[1]）
法学院：

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	5	95	100	5%
女生	30	270	300	10%
合计	35	365	400	8.75%

统计学院：

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	320	80	400	80%
女生	65	5	70	92.8%
合计	385	85	470	81.9%

观察上述趋势可能总结出女生被优先录取的结论，但是合并这两组数据：

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	325	175	500	65%
女生	95	275	370	25.67%
合计	420	450	870

居然反转了，女生的录取率居然比男生低那么多。反而可能得出男生被优先录取的结论，所以真的有歧视吗？
其实这是因为法学院和统计学院录取率过于悬殊：申请法学院的成功率很低，但是女生却有大量申请者去参加激烈竞争，虽然男生每个学院录取率都较低，但是大部分都分布在录取人数较多的统计学院，因此总体上录取的人数更多。
辛普森悖论说明了分组数据和总和数据可能会反应不同的情况，只考虑其中之一可能导致不真实的推论。而格里蝾螈是观察到总体不均匀的分布（选民的分布）采用图上的分割方式使得每个组内的多数方反转。它的手法如下：
两个党派要如图州中竞选，需要划分四个选区，每个选区根据多数原则选出选区席位，赢得最多选区席位者的参选代表当选州长。图中黄色和绿色表示两个党派的选民，可以看出绿色党派支持者的数量占大多数（36:28）



州选民分布

但是采用下面四种划分出不同选区的方式可以得出四种结果



格里蝾螈

左下角的田字形划分中，绿色党获得席位4:0，不成比例地碾压了黄色党派，左上角臣字形划分法得席位3:1，仍然是绿色党派赢。而右上角回字形划分法则得分2:2，黄色党派居然扳平。右下角就是Gerrymandering了，通过奇形怪状的划分，本身少数派的黄色党派居然可以3:1得胜。注意：每个选区中都“公平”地分出了16个选民、
1812年的马赛诸塞州，州长埃尔布里奇·托马斯·格里签署的选区划分方案中，一个选区被骨骼精奇地划为了蝾螈状(个人感觉不像)，使得当时的民主共和党在票数不成比例的情况下赢得这次选举，战胜了当时的联邦同盟党。格里的政敌于是合成了“gerrymandering”（格里蝾螈）一词，讽刺了不公平画分选区的方式，而200多年后的1985年，美国最高法裁定当年的该做法违宪，选区的划分和格里蝾螈从此称为众目睽睽的话题



Gerrymandering讽刺画

除了结合人口学普查数据之外，怎样才能快速测量一个区域是不是被Gerrymander了呢？这就要说到一个在区域规划领域中重要的概念：紧凑(compactness)
注意：这个紧的概念和拓扑学中说的紧（compact）无关。
一个衡量紧凑度的朴素方法是先确定区域的一个中心点(比如几何中心)，然后加和区域内每个点与它的范数，越小说明越紧凑：




2范数的平方加和



2范数的平方加和

但是这个方法依赖中心的选择，受到极端数据的影响严重，并且忽略了图形内部点的聚合情况和图形的凹凸性，只有在区域形状恰好是点分布的凸包时比较合适。并且在选民很多的情况下，面临统计困难(还需要统计他们每个人的地理坐标)和很大的计算消耗。
能不能甩掉点阵，直接从区域的形状本身看出紧凑程度呢？
Reock检验是计算区域图形的面积和其外接圆的面积的比，越接近圆形的形状越紧凑，一个图形外接圆的面积总是比图形更大，所以Reock紧度 ，所以这个比例越接近1，说明区域形状越紧凑。



Reock检验

上图右下方的图形不自然，有Gerrymandering的嫌疑，但是却有着较高的Reock紧凑度，这是因为Reock检验只能测试图形是否更好地匹配外接圆，因此对图形远端点（四肢方向）更敏感，而内部卷成麻花也不大会影响Reock紧度，所以也不能反映所有情况。
Schwartzberg检验则是计算与图形相同面积的圆的周长与该图形周长的比值，根据等周不等式，面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小。因此Schwartzberg紧凑度也 ，并且越接近1，说明图形越紧凑。



Schwartzberg检验

Schwartzberg检验能很好地甄别出那些蝾螈们，因为形状越不规则，就会面对更大的周长。但是并不是所有情况，而且大部分情况下的敏感度往往不如Reock检验。
此外还有曲率和惯性矩等等相对炫技的紧度测量工具，紧度不仅用于选区公平划分，在物流优化问题和确定销售区域等等效率问题、甚至流行病统计预防中也在与各领域各式各样的蝾螈而战。



美国蝾螈



德国蝾螈



马来西亚蝾螈：无拉港的选区边界狭长，以将华裔选民集中在该选区，降低反对党赢得周边议席的概率



加利福尼亚州第十一国会选区被划分成对它当时的现任共和党代表有利。该选区在2010年人口普查后被重划。



善于隐藏的蝾螈。位于地图中央的富兰克林县中，俄亥俄州哥伦布集中的都市(也是主要支持自由派民主党的)区域，被一分为三，每块都被接上主要是投票给共和党的保守派的市郊，且在选票数上被其淹没。



        伊利诺伊州第四国会选区耳罩般的形状将两块西班牙裔区域集中起来，只在294号州际公路沿线保留狭窄的联结。

[2]



患病率蝾螈

卡卡

将对立政党的支持人群集中划分到少数选区，在这些选区对方将大比例获胜，而在余下的多数选区里，我方都将以微弱优势获胜。
这样就使得我方获得超出实际支持率的议会席位