不会吧不会吧，不会真有人还不会算时间复杂度吧？用十分钟让你明白如何计算时间复杂度

二维码

前言：

算法的分析方式有两种：

• 事后分析统计方法:编写算法对应程序，统计其执行时间。
  

    存在问题：**编写程序的语言不同，执行程序的环境不同等因素**

• 事前估算分析方法:撇开上述因素，认为算法的执行时间是问题规模n的函数。
  

所以我们引入了时间复杂度的概念来对算法进行分析
分析算法的执行时间

求出算法所有原操作的执行次数(也称为频度)，它是问题规模n的函数，用 T(n) 表示。
算法执行大致时间 = 原操作所需的时间  *  T(n) 所以算法的执行时间与 T(n) 成正比 为此用 T(n) 表示算法的执行时间
频度的计算

先来看一段代码
for (i = 0; i < n; i++) {                                      //语句 1   频度为 n+1
        for (j = 0; j < n; j++) {                              //语句 2   频度为 n*(n+1)
                c[j] = 0;                                   //语句 3   频度为 n*n
                for (k = 0; k < n; k++)                        //语句 4   频度为 n*n*(n+1)
                        c[j] = c[j] + a[k] * b[k][j]; //语句 5   频度为 n*n*n      
        }
}
来解释一下，每个语句的频度
语句1：

不看内循环，单独看语句 1 ，当i范围在 [0,n-1] 时，它执行了n次，i=n时还执行了一次（判断后跳出循环），所以是n+1次。
语句2：

一样，不看 内循环 和 外循环，单独看语句2，语句2执行了n+1次 ，再看外循环，也就是语句1  循环了 n 次（频度是n+1,但是 循环次数并不是n+1次） 所以语句2 的频度为 n*(n+1)
语句3：

不看外循环，执行一次，再看外循环，执行n*n次 故  频度为n²
语句4和语句5的频度就不做解释了
得出这个段代码的 频数之和为
T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1
算法的执行时间用时间复杂度来表示

T(n) = O(f(n)) 记号“O”读作“大O”，它表示随问题规模n的增大算法执行时 间的增长率和f(n)的增长率相同。
T(n)= O(f(n))表示存在一个正的常数M,使得当n≥n0时都满足: | T(n) |   ≤   M | f(n) | f(n)是 T(n)的上界 这种上界可能很多，通常取最接近的上界，即紧凑上界 大致情况：lim n->∞  T(n) / f(n) = M
是不是觉得很啰嗦，怎么涉及到这种概念  ，没事  看不懂也没事，其实，只要求出T(n) 的最高阶就行了  忽略其他低阶项和常系数 例如 T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1 = O(n³） T(n) =2n² + 2n + 1 = O(n²） T(n) = n + 1 = O(n） T(n) = 1   = O(1） 一个没有循环的算法的执行时间与问题规模n无关，记作0(1)，也称作常数阶。 一个只有一重循环的算法的执行时间与问题规模n的增长呈线性增大关系，记作O(n)，也称线性阶。 其余常用的算法时间复杂度还有平方阶O(n²)、 立方阶O(n³)、 对数阶O(log2n)、指数阶O(2^n)等。
对数阶的例子：
int i = 1;
while(i<n) {
    i = i*2;
}   
执行次数为x次 2^x = n 则 x = log 2 n 时间复杂度为O(log2n)
指数阶的例子
int aFunc(int n) {
        if (n <= 1)
            return 1;
        else
            return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
}
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。
补充

T(n)的简便计算

算法中的基本操作一般是最深层循环内的原操作。 算法执行时间大致 = 基本操作所需的时间 X 其运算次数。 在算法分析时，计算T(n)时仅仅考虑基本操作的运算次数。 例如上述的例子：
for (i = 0; i < n; i++) {                                    
        for (j = 0; j < n; j++) {                              
                c[j] = 0;                                   
                for (k = 0; k < n; k++)                        
                        c[j] = c[j] + a[k] * b[k][j];     
        }
}
基本语句是 ci = ci + ai * b[k]


这种简化的时间复杂度分析方法得到的结果相同，但 分析过程更简单。
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

O(1 )< O(logn) < O(n) < O(n*logn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
因为初学数据结构和算法，可能有不严谨的地方或者错误欢迎指出

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